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   Test A23    Egalités vraies ou fausses, être solution - Niveau 1
                                                             

Pour réussir ce test d’entrée dans l’étude dans de bonnes conditions, il est nécessaire de savoir :

 
 

1. Utiliser  le test d’égalité afin d’étudier si un nombre est solution d’une équation.
2. Utiliser  le test d’égalité et la notion de contre exemple pour démontrer qu’une égalité n’est pas une identité.( une identité étant une égalité vraie pour toutes valeurs possibles de la variable)
3. Résoudre une équation du type ax+b = cx+d
4. Résoudre une équation produit de la forme (ax+b) (cx+d) = 0

 
 

Correction détaillée  :

 
Question 1  :
Savoir faire :
Utiliser  le test d’égalité afin d’étudier si un nombre est solution d’une équation.

 

 

Technique
1- Substituer à x le nombre proposé dans le premier membre de l’équation et effectuer le calcul.
 2- Substituer à x le nombre proposé dans le second membre de l’équation et effectuer le calcul.
3- Si les deux résultats obtenus sont les mêmes alors le nombre est solution de l’équation, sinon le nombre n’est pas solution de l’équation.

 

Le nombre 2 est-il solution de l’équation  
3x² – 7 = 2x + 1 ?

 

  • Les deux résultats sont les mêmes, donc l’égalité est vraie quand x = 2.
    Donc le nombre 2 est une solution de l’équation 3x² – 7 = 2x + 1
 
Question 2  :
Savoir faire :
Utiliser  le test d’égalité et la notion de contre exemple pour démontrer qu’une égalité n’est pas une identité.
 
  Technique :
1- Substituer à x un nombre dans le premier membre de l’égalité et effectuer le calcul. 
2- Substituer à x un nombre dans le second membre de l’égalité et effectuer le calcul.
3- Si les deux résultats obtenus ne sont pas les mêmes alors l’égalité n’est pas vraie pour toutes les valeurs de x possibles car elle n’est pas vraie pour ce nombre (on dit que c’est un contre exemple).
L’égalité n’est donc pas toujours vraie. Ce n’est pas une identité.
                            
Remarque : Si les deux résultats obtenus sont les mêmes, alors l’égalité est vraie pour cette valeur, mais cela ne démontre pas que l’égalité soit vraie pour toutes les valeurs. On ne sait pas si c’est une identité. Pour le démontrer, il faudra utiliser l’algèbre afin de démontrer que l’égalité est toujours vraie ( c'est à dire vraie pour toutes valeurs possibles de la variable).
 

Vrai ou faux ?
Pour tout nombre x,
(1 + 2x)² = 1 + 4x²

 

  • On fait le choix de x =1 ainsi :

  • Les deux résultats sont différents, donc l’égalité n’est pas une identité.

Remarque : si on choisit x = 0 :

  • Les deux résultats sont les mêmes mais on ne peut pas savoir si l’égalité est toujours vraie ou pas. On ne sait alors pas si l’égalité est une identité. Il faut tester avec une autre valeur, ou développer (1 + 2x)².
 
Question 3  

Savoir faire :
Résoudre une équation du type ax+b=cx+d

 
  Technique :

 1- Transformer l’équation en une équation du type Ax = B ou C = Dx avec les règles de transpositions.
 2- Résoudre si possible l’équation Ax = B ou C = Dx en utilisant la définition du quotient


 

Résoudre l’équation suivante : 
2x + 5 = –7x – 9

   
Question 4  

Savoir faire :
Résoudre une équation produit de la forme (ax+b) (cx+d) = 0

 
  Technique :

1- Résoudre l’équation (ax+b) = 0
2- Résoudre l’équation (cx+d) = 0
3- Ce sont les deux solutions de l’équation (ax+b) (cx+d) = 0

Pour valider cette technique, on utilise la propriété :
« Un produit de facteurs est nul » équivaut à « au moins un des facteurs est nul ».



 

Résoudre l’équation suivante : 
(–7x – 2) (5x – 3) = 0

    • On peut conclure que sont les solutions de l’équation
      (7x – 2) (5x –3) = 0

 
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