Remédiation
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   Test A24    Inéquations, positivité et négativité - Niveau1
 

Correction détaillée :

 
Question 1  :

 

Dans un cadre numérique :

Si on travaille avec des nombres (cadre numérique), il est facile de distinguer les nombres positifs et les nombres négatifs. En effet la présence d’un signe « + » ou l’absence de signe indique qu’il est positif. La présence d’un signe « - » indique qu’il est négatif.

C’est donc le signe du nombre qui indique s’il est positif ou négatif.
C’est pour cela qu’on peut dire, quand on cherche à savoir si un nombre est positif ou négatif, qu’on étudie le signe de ce nombre.

 

a et b étant des nombres, a et -b sont-ils des nombres positifs ou des nombres négatifs ?

Dans un cadre algébrique ( si les nombres sont écrits avec des lettres )
Pour savoir si un nombre est positif ou négatif, on ne peut plus se fier à la lecture du signe.
Exemple :

  • pour le nombre a :

L’absence de signe pourrait nous indiquer que ce nombre est positif.
En réalité :
si par exemple a = 3, alors il est effectivement positif mais si a = -5 il est alors négatif.
Le fait que a soit positif ou négatif dépend donc de la valeur que l’on donne à a.
On ne peut donc pas conclure que a est positif ou négatif.

  • pour le nombre -b :

La présence du signe « - » pourrait nous indiquer que ce nombre est négatif.
En réalité :
 si par exemple b = 7, alors –b = -7 et -b est effectivement négatif
mais si par exemple b = -1, alors –b = 1 et -b est positif
Le fait que –b soit positif ou négatif dépend donc de la valeur que l’on donne à b.
On ne peut donc pas conclure que -b est positif ou négatif.

 
Question 2/3  :

 

 
Comment traduire par une phrase mathématique la condition « a est un nombre positif » ?

Comment traduire par une phrase mathématique la condition « a est un nombre négatif » ?

On vient d’expliquer pourquoi, dans le cadre algébrique, le critère du signe n’est plus efficace pour savoir si un nombre est positif ou négatif. Pour savoir si un nombre est positif ou négatif il faudra savoir s’il est supérieur ou égal ou inférieur ou égal à 0.

On traduira donc « a est un nombre positif » par «  ».
De même on traduira « a est un nombre négatif » par «  »

 
Question 4  

 

 
x étant un nombre,
le nombre -3(2x+4)-6
est-il un nombre positif ou négatif ?

Le nombre est donné dans un cadre algébrique. Ce n’est donc pas son signe qui nous indique s’il est positif ou négatif.
On va étudier différents cas pour se faire une idée :

  • si x = 0, alors et il est négatif
  • si x = 1, alors et il est négatif
  • si x = 2, alors et il est négatif

Sur ces 3 exemples, on pourrait penser qu’il est toujours négatif. En fait :

  • si x = -10, , alors et il est positif

Conclusion :
On ne peut pas conclure : suivant les valeurs de x le nombre est soit positif soit négatif.



 
Question 5  

 

 
x étant un nombre, le nombre est-il un nombre positif ou un nombre négatif ?

Le nombre est donné dans un cadre algébrique. Ce n’est donc pas son signe qui nous indique s’il est positif ou négatif.
On va étudier différents cas pour se faire une idée :

  • si x = 0, alors = 14 et il est positif
  • si x = 1, alors = 6 et il est positif
  • si x = 2, alors = 6 et il est positif

Sur ces 3 exemples, on pourrait penser qu’il est toujours positif.

  • si x = -10, alors  et il est encore positif

Il semble vraiment positif pour tout nombre x, mais on ne peut pas les tester tous et on ne peut donc pas conclure pour l’instant.

Pour le démontrer, il faudra utiliser l’algèbre afin de démontrer que le nombre est positif.

Un nombre au carré étant toujours positif, on a la certitude que le nombre est toujours positif. 5 est aussi positif. La somme de deux nombres positifs est un nombre positif.

Conclusion : on peut affirmer que le nombre est toujours positif (grâce à l’algèbre)

 
Question 6  
Résoudre une inéquation du type ax+b < 0  
 

Technique :
 1- Transformer l’inéquation en une inéquation du type Ax < B ou C < Dx avec les règles de transposition.
 2- Résoudre si possible l’inéquation Ax < B ou C > Dx
On rappellera que
:

  • « multiplier ou diviser les membres d’une inégalité par un même nombre non nul positif ne change pas le sens de l’inégalité »
  • « multiplierou diviser les membres d’une inégalité par un même nombre non nul négatif change le sens de l’inégalité »

 

 

Résoudre l'inéquation suivante puis représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
5x-2 < 0


ou  
   
niveau 2